Anton Salikhmetov

Elementary Microeconomics of the Talmudic Rule

2018-11-08T23:03:08Z

https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3271944

This paper takes a look at the Talmudic rule aka the 1/N rule aka the uniform investment strategy from the viewpoint of elementary microeconomics. Specifically, we derive the cardinal utility function for a Talmud-obeying agent which happens to have the Cobb-Douglas form. Further, we investigate individual supply and demand due to rebalancing and compare them to market depth of an exchange. Finally, we discuss how operating as a liquidity provider can benefit the Talmud-obeying agent with every exchange transaction in terms of the identified utility function.

comments

arXiv:1808.06351 [cs.LO]

2018-08-21T04:58:01Z

https://arxiv.org/abs/1808.06351

Lambda Calculus with Explicit Read-back

This paper introduces a new term rewriting system that is similar to the embedded read-back mechanism for interaction nets presented in our previous work, but is easier to follow than in the original setting and thus to analyze its properties. Namely, we verify that it correctly represents the lambda calculus. Further, we show that there is exactly one reduction sequence that starts with any term in our term rewriting system. Finally, we represent the leftmost strategy which is known to be normalizing.

comments

Missing equivalence in the interaction calculus

2018-07-04T08:55:19Z

Configuration

<... | x = α(...y...), y = β(...x...)>

can be reduced to both

<... | x = α(...β(...x...)...)>

and

<... | y = β(...α(...y...)...)>,

which syntactically appears as a counterexample to strong confluence, while essentially representing the same configuration.

Is there a way to formalize equivalence between those two normal forms?

I think there is:

comments

arXiv:1806.07275 [cs.LO]

2018-06-20T08:38:46Z

https://arxiv.org/abs/1806.07275

Upward confluence in the interaction calculus

The lambda calculus is not upward confluent, one of counterexamples being known due to Plotkin. This paper explores upward confluence in the interaction calculus. Can an interaction system have this property? We positively answer this question and also provide a necessary and sufficient condition for stronger one-step upward confluence. However, the provided condition is not necessary for upward confluence as we prove that the interaction system of the linear lambda calculus is upward confluent.

comments

Optimal Talmudic Zigzag

2018-04-23T12:34:14Z

https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3166840

This paper studies the Talmudic rule aka the 1/N rule aka the uniform investment strategy on the microscopic scale, that is on the scale of single transactions. We focus on the simplest case of only two assets and show that the Talmudic rule results in each transaction to increase geometric mean of assets, regardless of price change direction. Then, we answer the following question: given any sequence of prices, how to find its optimal subsequence, maximizing the total growth of the geometric mean of assets? We conclude with an algorithm that can be used to analyze various sequences of prices and help develop trading strategies based on the Talmudic rule.

comments

Exhausting Combinators

2018-02-04T14:23:23Z

Early this year, I made a post on LtU about the experimental "abstract" algorithm in MLC. Soon after that, Gabriel Scherer suggested doing exhaustive search through all possible inputs up to a particular size. Recently, I decided to conduct such an experiment. Here are

Some results

I managed to collect some results [1]. First of all, I had to pick a particular definition for "size" of a λ-term, because there are many. I chose the one that is used in A220894 [2]:

size(x) = 0;
size(λx.M) = 1 + size(M);
size(M N) = 1 + size(M) + size(N).

For sizes from 1 to 9, inclusively, there exist 5663121 closed λ-terms. I tested all of them against both "abstract" [3] and "optimal" [4] algorithms in MLC, with up to 250 interactions per term. The process took almost a day of CPU time. Then, I automatically compared them [5] using a simple awk(1) script (also available in [1]), looking for terms for which normal form or number of β-reductions using "abstract" would deviate from "optimal".

No such terms have been found this way. Surprisingly, there have been identified apparent Lambdascope counterexamples instead, the shortest of which is λx.(λy.y y) (λy.x (λz.y)) resulting in a fan that reaches the interaction net interface. I plan to look into this in near future.

As for sizes higher than 9, testing quickly becomes unfeasible. For example, there are 69445532 closed terms of sizes from 1 to 10, inclusively, which takes a lot of time and space just to generate and save them. [6] is a 200MB gzip(1)'ed tarball (4GB unpacked) with all these terms split into 52 files with 1335491 terms each. In my current setting, it is unfeasible to test them.

I may come up with optimizations at some point to make it possible to process terms of sizes up to 10, but 11 and higher look completely hopeless to me.

[1] https://gist.github.com/codedot/3b99edd504678e160999f12cf30da420
[2] http://oeis.org/A220894
[3] https://drive.google.com/open?id=1O2aTULUXuLIl3LArehMtwmoQiIGB62-A
[4] https://drive.google.com/open?id=16W_HSmwlRB6EAW5XxwVb4MqvkEZPf9HN
[5] https://drive.google.com/open?id=1ldxxnbzdxZDk5-9VMDzLvS7BouxwbCfH
[6] https://drive.google.com/open?id=1XjEa-N40wSqmSWnesahnxz6SXVUzzBig

comments

Bitcoin Proof of Work in Pure Lambda Calculus

2017-11-24T20:40:27Z

From command line to MLC:

$ npm i -g @alexo/lambda
└── @alexo/lambda@0.3.6

$ node work2mlc.js getwork.json 381353fa | tee test.mlc
Mid = x: x
        hex(24e39e50)
        hex(1efebbc8)
        hex(fb545b91)
        hex(db1ff3ca)
        hex(a66f356d)
        hex(7482c0f3)
        hex(acc0caa8)
        hex(00f10dad);

Data = x: x
        hex(a7f5f990)
        hex(fd270c51)
        hex(378a0e1c);

Nonce = hex(381353fa);

Zero32 (Pop 8 (RunHash Mid Data Nonce))
$ lambda -pem lib.mlc -f test.mlc
3335648(653961), 17837 ms
v1, v2: v1
$

https://gist.github.com/codedot/721469173df8dd197ba5bddbe022c487

comments

Implementation of SHA-256 in Macro Lambda Calculus

2017-11-22T20:15:04Z

https://gist.github.com/codedot/721469173df8dd197ba5bddbe022c487

$ npm i -g @alexo/lambda
└── @alexo/lambda@0.3.6

$ make
	shasum -a 256 /dev/null
e3b0c44298fc1c149afbf4c8996fb92427ae41e4649b934ca495991b7852b855  /dev/null
	lambda -pem lib.mlc 'Pri32 hex(e3b0c442)'
857(230), 19 ms
_1 _1 _1 _0 _0 _0 _1 _1 _1 _0 _1 _1 _0 _0 _0 _0 _1 _1 _0 _0 _0 _1 _0 _0 _0 _1 _0 _0 _0 _0 _1 _0
	lambda -pem lib.mlc 'Pri32 (Shift 8 (Hash1 NullMsg))'
3247721(688463), 17211 ms
_1 _1 _1 _0 _0 _0 _1 _1 _1 _0 _1 _1 _0 _0 _0 _0 _1 _1 _0 _0 _0 _1 _0 _0 _0 _1 _0 _0 _0 _0 _1 _0
	shasum -a 256 </dev/null | xxd -r -p | shasum -a 256
5df6e0e2761359d30a8275058e299fcc0381534545f55cf43e41983f5d4c9456  -
	lambda -pem lib.mlc 'Pri32 hex(5df6e0e2)'
856(230), 15 ms
_0 _1 _0 _1 _1 _1 _0 _1 _1 _1 _1 _1 _0 _1 _1 _0 _1 _1 _1 _0 _0 _0 _0 _0 _1 _1 _1 _0 _0 _0 _1 _0
	lambda -pem lib.mlc 'Pri32 (Shift 8 (Hash2 NullMsg))'
6448027(1373506), 38750 ms
_0 _1 _0 _1 _1 _1 _0 _1 _1 _1 _1 _1 _0 _1 _1 _0 _1 _1 _1 _0 _0 _0 _0 _0 _1 _1 _1 _0 _0 _0 _1 _0
$

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 16

2015-05-18T12:05:14Z

После пятнадцатой главы в плане "Как читать Барендрегта" остается только одна, самая главная - шестнадцатая. В ней, наконец-то, показано, что HP-полное расширение всех осмысленных λ-теорий - это H*, и другого не дано.

16.5.1. Покажем, что
(i) для любого замкнутого терма Z в теории H доказуемо
Z Ω~n = Ω для некоторого n:
если Z неразрешим, то он равен Ω по определению H, иначе
Z имеет головную нормальную форму x1,..., xn: xi Z1 ... Zn, и тогда
Z Ω~n неразрешим и равен Ω по определению H;
(ii) если A x ->> z: z (A (x Ω)), то A Z = A Z' доказуемо
в теории H* для любых термов Z и Z', а
в теории H только для замкнутых Z и Z':
ввиду (i) для некоторого n имеем
A Z ->>βηΩ z1: z1 (...(zn: zn (A Ω))...) <<-βηΩ A Z',
в HP-полной H* содержится, в частности,
непротиворечивая Hω ввиду ее осмысленности,
поэтому там выводимо также следствие A Z = A Z',
но в H правило ω не имеет места.

16.5.2. Покажем, что в H имеет место ext0, но не имеет места ext:
ext влечет правило η, а оно не имеет места в H;
пусть теперь M x = N x, где M и N замкнуты, тогда
M x = N x = Ω может быть только по причине M = N = Ω,
а в противном случае M = x1,..., xm: xi M1 ... Mn и N = y1,..., yn: yj N1 ... Nn,
для которых даже в λ доказуемо M = N (см. упр. 2.4.13).

16.5.3-16.5.7. Обойдемся без альтернативных доказательств теорем,
рисования редукционных графов, рассмотрения оригинальных
построений Морриса и теоремы Мальцева.

16.5.9. Покажем, что терм M разрешим тогда и только тогда,
когда теория λ + (M = Y K) противоречива:
(=>) если M разрешим, то для некоторых термов N1,..., Nn
M N1 ... Nn = K, при этом Y K N1 ... Nn = Y K, но K # Y K (см. упр. 6.8.3);
(<=) если λ + (M = Y K) противоречива, то M разрешим, иначе
в непротиворечивой H выводилось бы M = Ω = Y K.

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 15

2015-05-17T18:04:01Z

От упражнений остальных глав второй части монографии в 27 уже морщит, как в 50, поэтому перейду сразу к пятнадцатой, где вводится понятие редукции-оракула, которое анализирует доказуемость в осмысленной теории H и говорит, на что еще нет смысла тратить время.

15.4.1. Покажем, что любой терм M Ωη-сильно нормализуем:
η-редукцию всегда можно отложить, при этом
любой терм имеет единственную Ω-нормальную форму и
единственную η-нормальную форму.

15.4.2. Будем писать x \in_R M, если x входит в любой N =R M.
Покажем, что
(i) x \in_βηΩ A x, если A = ω ω, где ω = a, x, z: z (a a (x Ω)):
редукция A x ->>β <...<A (χ^n Ω)>...> не порождает Ω-редексов;
(ii) имеется замкнутый терм O, такой, что
O x [n] z ->>β z Ω~n (O x [n + 1] z) и x \in_βηΩ O x [0]:
возьмем O = Θ (o, x, n, z: (W z n) (o x (S+ n) z)),
где W = Θ (w, z, n: (Zero n) z (w z (P- n) Ω));
(iii) для любого замкнутого F есть замкнутый H, такой, что
H c i a ->>β x: x I (F c a (H c i (S+ a))) и x \in_βηΩ H c x [0]:
возьмем H = Θ (h, c, i, a: (x: x I (F c a (h c i (S+ a)))));
ни в редукции O, ни в редукции H не появляется Ω-редексов.

15.4.3. Пусть у нас есть такая рекурсивная функция f, что
f(n) = 0, если n входит в некоторое множество, иначе f(n) = 1.
Тогда покажем, что
(i)-(ii) λ + {Ω [n] = T | f(n) = 0} + {Ω [n] = F | f(n) = 1} непротиворечива:
λ-определим f через G и вспомним, что терм Ω легкий, поэтому
его можно, в частности, приравнять к n: Zero (G n);
(iii) без нерекурсивных функций не существует и континуума.

15.4.4 (Клоп). Практически решено в указании.

15.4.5. Пусть T = λ + {Ω [0] Z = Ω [1] Ζ | Z замкнут}. Покажем, что
(i) (Якопини) в T недоказуемо Ω [0] = Ω [1]:
заметим, что теория λ + Ω = n: (Zero n) x (y: x y)
непротиворечива из-за легкости Ω и при этом содержит в себе T,
но без аксиомы η недоказуемо равенство x = y: x y;
(ii) если T' = T + (Ω (x: Ω [0] x) = T) + (Ω (x: Ω [1] x) = F),
то T' непротиворечива, а T'ω противоречива:
в T'ω из дополнительных аксиом T следует Ω [0] = Ω [1],
а дополнительные аксиомы T' приведут к T = F, но T # F,
непротиворечивость же T' никому нахуй не сдалась.

15.4.6-15.4.10. Дальше совсем скучно.

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 6 (продолжение)

2015-05-12T15:35:57Z

В предыдущей серии были упр. 6.8.1-6.8.12. Сейчас будет вторая половина.

6.8.13. Покажем, что цифровая система d адекватна тогда и только тогда, когда
существуют такие Md и Nd, что Md [n] = dn и Nd dn = [n] для всех n:
(=>) Md = Y (f, n: (Zero n) d0 (Sd+ (f (P- n)))), Nd = Y (f, n: (Zerod n) [0] (S+ (f (Pd- n))));
(<=) Pd- = n: Md (P- (Nd n)).
Отсюда получим, что для адекватных цифровых систем d и d'
существуют M и N, что M dn = dn' и N dn' = dn:
возьмем M = n: Md' (Nd n) и N = n: Md (Nd' n).

6.8.14 (Клоп). Покажем, что M = N N~25, где
N = abcdefghijklmnopqstuvwxyzr: r (thisisafixedpointcombinator),
является комбинатором неподвижной точки:
заметим, что M = r: r (M r) = r: r (r (M r)) = ..., и уже все понятно,
но все-таки проверим по теореме о магической силе S I:
(y, f: f (y f)) (r: r (M r) = f: f ((r: r (M r)) f) = f: f (f (M f)) = M.

6.8.15. Упражнение задом наперед:
(iii) нерекурсивные функции - это иллюзия;
(ii) для рекурсивной функции f: N^2 -> N построим попарно различные замкнутые термы X0, X1,..., такие, что Xn Xm = Xf(n, m):
сначала воспользуемся лямбда-определимостью f и построим такой F, что
F [n] [m] = [f(n, m)], предположим Xi = x: x A [n], тогда
Xn Xm = Xm A [n] = (x: x A [m]) A [n] = A A [m] [n], а нам надо, чтобы было
A A [m] [n] = x: x A (F [n] [m]) => A = a, m, n: (x: x a (F n m)), при этом
Xn = Xm => Xn K = Xm K => [n] = [m], то есть термы Xi действительно разные;
(i) для произвольного конечного множества X = {x1,..., xn} с бинарной операцией * на X, покажем, что
Xi Xj = Xk <=> xi * xj = xk для всех i, j, k <= n:
заметим, что Xi Xj = Xk <=> k = f(i, j), и теперь
достаточно представить операцию * функцией f,
тогда xi * xj = xk <=> k = f(i, j).

6.8.16. Строить псевдоцифровую систему на неразрешимых термах - дело неблагодарное, так как при переходе от λ к H она схлопывается, как мыльный пузырь.

6.8.17 (Б. Фридман). Покажем, что f - адекватная цифровая система, если
f0 = x: K, Sf+ = x, y: y x, Pf- = x: x I и Zerof = x, y, z: x (t: F) y z:
Sf+ fn = y: y fn # fn, иначе (y: y fn) (K M) = fn (K M) => M = K,
Zerof f0 = y, z: f0 (t: F) y z = (x: K) (t: F) = T;
Zerof (Sf+ fn) = y, z: Sf+ fn (t: F) y z = y, z: (t: F) fn y z = F;
Pf- (Sf+ fn) = Sf+ fn I = I fn = fn.

6.8.18 (Ершов). Ой, ну его.

6.8.19. Покажем, что перед нами адекватные цифровые системы:
(i) (Ван дер Поль и др.) последовательность pn = x, y: x y~n:
Sp+ (x, y: x y~n) = x, y: x y~n y = x, y: Sp+ x y y = Y (f, x, y: f x y y);
(ii) (Бем, Дедзани-Чанкальини)
d0 = Y, Sd+ = x, y: y x P для любого P:
Pd- = x: x K => Pd- (Sd+ dn) = Sd+ dn K = K dn P = dn,
Zerod = x: x (K (K T)) I =>
Zerod d0 = Y (K (K T)) I = K (K T) (...) I = K T I = T и
Zerod (Sd+ dn) = Sd+ dn (K (K T)) I = K (K T) dn P I = K T P I = T I = F;
e0 = K, Se+ = x, y: y x Y:
Se+ en K = K en Y = en, поэтому годится тот же
Pe- = Pd- = x: x K,
Se+ en (K (K T)) I = K (K T) en Y I = T I = F, но
e0 (K (K T)) I = K (K (K T)) I = K (K T), поэтому придется взять другой
Zeroe = x: x (K (K T)) I I F;
комбинаторы неподвижной точки не имеют нормальной формы,
поэтому адекватная цифровая система не обязательно нормальна.

6.8.20-6.8.22. Ну и хватит уже цифровых систем.

6.8.23 (Дж. Терлаув). Теорема Скотта без использования второй теоремы о неподвижной точке уже практически доказана в указании к этому упражнению.

6.8.24. Покажем, что G X = G (F (G X)), если X = Y (x: F (G x)):
X = (x: F (G x)) X = F (G (X)) => G X = G (F (G X)).

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 6

2015-05-11T18:44:32Z

После небольшого отступления к четвертой главе, вернемся к плану "Как читать Барендрегта". Итак, вторая часть, глава шестая. Она содержит довольно много упражнений, поэтому сейчас будет только половина.

6.8.1. Докажем, что <M1,..., Mn> = <N1,..., Nn> <=> M1 = N1,..., Mn = Nn:
(=>) <M1,..., Mn> (x1,..,xn: xi) = <N1,..., Nn> (x1,..,xn: xi) => Mi = Ni;
(<=) x = x => x M1 ... Mn = x N1 ... Nn => x: x M1 ... Mn = x: x N1 ... Nn.

6.8.2. Построим замкнутые термы K8 и A, такие, что:
(i) K8 x = K8:
K8 = y: K8 = (f, y: f) K8 = Y (f, y: f);
(ii) A x = x A:
A = y: y A = (f, y: y f) A = Y (f, y: y f).

6.8.3. Покажем, что для построенного K8 имеет место K # K8:
K = K8 => K M I = K8 M I => M = K8.

6.8.4. Поздоровавшись с LISP, построим замкнутые термы M и N, такие что
(i) M [n] x y = x y~n для всех n:
заметив, что M [n + 1] x y = x y~n+1 = (x y~n) y = (M [n] x y) y,
получаем M = Y (f, n, x, y: (Zero n) x ((f (P- n) x y) y));
(ii) N [n] [i] = x: x F~i T для i < n и N [n] [n] = x: x F~n:
введем сначала G [n] [i] = i < n ? T : F, взяв
G = Y (f, n, i: (Zero n) F ((Zero i) T (f (P- n) (P- i)))),
а потом используем M и G, чтобы определить
N = n, i: (G n i) (y, x: M [i] x F) (y, x: (M [i] x F) T).

6.8.5. Построим последовательность термов A0, A1..., такую, что
A0 = S и An+1 = An An+2:
для этого возьмем An = A [n], где
A [n] = n = 0 ? S : (A [n - 1]) (A [n + 1]), то есть
A = Y (a, n: (Zero n) S ((a (P- n)) (a (S+ n))).

6.8.6 (Россер). Все интернеты уже сто лет дрочат на то, как работают сложение, умножение и показательная функция для цифр Черча.

6.8.7. Пропустим супер-пупер-обобщение теорем о неподвижной точке.

6.8.8. Покажем, что для любого терма M существует такой M' в нормальной форме, что M' I = M:
построим сначала N, заменив в M каждый редекс (yi: Pi) Qi на x (yi: Pi) Qi,
тогда M' = x: N не будет содержать редексов, но при этом M' I ->> M.

6.8.9. В HP-полном расширении λ все комбинаторы неподвижной точки равны, поэтому утверждения
(i) Y_M = Y_N => M = N и
(ii) Ym = Yn => m = n
там не имеют места в общем случае, так что не будем забивать голову.

6.8.10. Покажем, что существует такой M, что M = [M]:
[M] = M => I [M] = M, а по второй теореме о неподвижной точке
можно взять M = W [W], где W = x: I (Ap x (Num x)).

6.8.11 (Черч). Покажем, что множество {M | M = I} не рекурсивно:
данное множество содержит I, но не содержит K, поэтому оно нетривиально,
при этом оно по определению замкнуто относительно равенства,
а мы уже знаем, что множества с двумя этими свойствами не рекурсивны.

6.8.12. Эффективно неотделимые множества определены за пределами монографии (см. "Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость" Роджерса, с. 126).

Продолжение следует...

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 4

2015-05-10T15:13:56Z

Немного отклонюсь от плана "Как читать Барендрегта" и от третьей главы монографии внезапно перейду аж сразу к четвертой. Внимание: будут ссылки на упражнения второй главы.

4.3.1. См. упр. 2.4.12 (i).

4.3.2 (Виссер). Замкнутый терм M называется легким, если для всех замкнутых термов N теория λ + (M = N) непротиворечива. В предположении легкости терма M докажем следующие утверждения.
(i) M N легкий для любого замкнутого терма N:
в непротиворечивой λ + (M = K M) выводимо M N = K M N => M N = M,
откуда следует, что λ + (M N = Q) непротиворечива для любого замкнутого Q;
(ii) M неразрешим, иначе бы M N1 ... Nn = I для некоторых Ni,
а из (i) следовало бы, что λ + (I = K) непротиворечива, но I # K (упр. 2.4.2 (i));
(iii)-(iv) если функция f(n) = #Pn рекурсивна, то она представима некоторым лямбда-термом F, таким, что F [n] = Pn, и
тогда в непротиворечивой λ + (M = F) выводимы M [n] = F [n] => M [n] = Pn для всех n;
если же f(i) не является рекурсивной функцией, то я в эти игры не играю, потому что не считаю вопрос "Есть ли Б-г на Марсе?" уместным в этой теме.
(v) λ + {M = N | M и N легкие} непротиворечива:
мы уже знаем о непротиворечивости осмысленной теории H, которая приравнивает все неразрешимые термы, а в пунтке (ii) мы доказали, что все легкие термы неразрешимы.

4.3.3. Модельные соображения не включены в программу намеренно.

4.3.4. Покажем, что не существует такого M, чтобы для любых N теория H + (M = N) была непротиворечивой:
в 4.3.2 (ii) мы доказали, что M должен быть неразрешимым, но
в H все неразрешимые термы приравнены к W3 = (x: x x x) (x: x x x), а
из упр. 2.4.12 (ii) мы знаем, что I # W3.

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 3

2015-05-09T21:02:35Z

Вчера были упражнения ко второй главе монографии, а сегодня пробежка галопом по третьей.

3.5.1. Нарисовать графы G(M) для каких угодно термов каждый может и сам.

3.5.2. А вот найти термы по заданному бета-графу - это уже интересно:
(i) M1 -> ... -> Mn -> M1 для произвольного n:
M1 = N N~n, где N = x1,..., xn: xn ... x2 x1 x1;
(ii) чтобы добавить к (i) Mi -> Mi для всех i, возьмем M1 Ω;
(iii) чтобы добавить к (i) Mi -> I для всех i, возьмем (x: I) M1;
второй граф имеет терм (x: x ω (y: x y)) ω -> Ω (y: ω y) -> Ω ω, Ω (y: ω y) -> Ω (y: ω y), Ω ω -> Ω ω;
третий граф имеет терм K I Ω -> (x: I) Ω -> I, K I Ω -> Κ Ι Ω, (x: I) Ω -> (x: I) Ω;
(iv) чтобы сделать бесконечный цилиндр из (i), возьмем M1 ((x: x x x) (x: x x x)).

3.5.3. Построим терм M0, такой, что M0 ->>β M1 ->η M2 ->>β M3 ->η M4 ->>β ...:
M0 = x: (y: M) x x ->>β x: M x ->η M ->>β Μ0;
M найдем, как будто мы до сих пор никогда не слышали про Y:
M = (f, x: (y: f) x x) M, M = W W, W = w: (f, x: (y: f) x x) (w w).

3.5.4. Пусть M = (b, x, z: z ( b b x)) (b, x, z: z (b b x)) x. Чтобы получить кайф, построив G(M) и установив, что для каждого n этот граф имеет n-мерный куб в качестве подграфа, нужно сначала покурить каннабис на родине автора.

3.5.5 (Бем). Бем не обидится, если не все будут рисовать G(M).

3.5.6 (Виссер). (i) Это мое самое любимое упражнение. Покажем, что имеется единственный редекс R с одной вершиной в G(R).
Если R = (x: M) N, то M[x := N] = (x: M) N. Рассмотрим все случаи:
1) x не входит в M => M = R => R = (x: R) N - это не терм;
2) M = x => x[x := N] = R => N = R => R = (x: x) R - это не терм;
3) M = P Q;
4) M = y: M' => R = y: M'[x := N] - это не редекс.
Значит, R = (x: P Q) N =
= (P Q)[x := N] = P[x := N] Q[x := N] = (x: P Q) N => P[x := N] = x: P Q и Q[x := N] = N;
Рассмотрим все случаи для P:
1) x не входит в P => P = (x: P Q) - это не терм;
2) P = x => N = x: x Q;
3) P = y: P', но тогда в R было бы два редекса, а не один;
4) P = P1 P2 => P[x := N] = P1[x := N] P2[x := N] - это аппликация, а не абстракция.
Значит, R = (x: x Q) (x: x Q) -> (x: x Q) Q[x := x: x Q] => Q[x := N] = x: x Q.
Рассмотрим все случаи для Q:
1) x не входит в Q => Q = x: x Q - это не терм;
2) Q = x;
3) Q = Q1 Q2 => Q1[x := N] Q2[x := N] - это аппликация, а не абстракция;
4) Q = y: Q' => y: Q'[x := N] = x: x Q => Q'[x := N] = y Q, но тогда x не входит в Q.
Таким образом, R = (x: x x) (x: x x).
(ii) А вот это не самое любимое мое упражнение.

3.5.7-3.5.10. Бла-бла-бла про хитровытраханные графы и понятия редукции.
Может быть, они и полезные упражнения, но я иду дальше.

3.5.11. Будем писать M ^ N, если L ->> M и L ->> N для некоторого терма L. Докажем, что
(i) K I K ^ K I S: возьмем K (K I S) K;
(ii) (x: a x) b ^ (y: y b) a: возьмем (y: (x: y x) b) a;
(iii) (x: x c) c ^ (x: x x) c: возьмем (y: (x: x y) y) c;
(iv) (x: b x) c ^ (x: x) b c: возьмем (y, x: y x) b c;
(v) (x: b x (b x)) c ^ (x: x x) (b c): возьмем (z, y: (x: x x) (z y)) b c;
(vi) (x: b x) c ^ (x: x) (b c): возьмем I ((y, x: y x) b c);
(vii)* (Плоткин) ...ах, если бы я смог доказать, что не имеет места (x: b x (b c)) c ^ (x: x x) (b c), то я бы прочувствовал, что бета-редукция не обладает "перевернутым свойством CR".

3.5.12-3.5.15. Дальше в редукционные дебри углубляться не буду.

comments

Упражнения из Барендрегта, глава 2

2015-05-08T20:17:54Z

Я решил пробежаться еще раз по плану "Как читать Барендрегта". По дороге буду срать в вашу френд-ленту следующим содержимым. (Чтобы не переключаться все время еще и на греческую раскладку, воспользуюсь синтаксисом, похожим на MLC.)

2.4.1. Покажем, что следующие термы имеют нормальную форму:
(i) (y: y y y) ((a, b: a) I (S S)) = (y: y y y) I = I I I = I;
(ii) (y, z: z y) ((x: x x x) (x: x x x)) (w: I) = (w: I) ((x: x x x) (x: x x x)) = I;
(iii) S S S S S S S = S S (S S S S S) = S S (S S (S S S)), если заметить S S M S = S S (M S);
(iv)* S (S S) (S S) (S S) S S... сдаюсь без калькулятора.

2.4.2. Покажем, что следующие пары термов несравнимы:
(i) I # K, иначе I I M = K I M => M = I;
(ii) I # S, иначе I K M I = S K M I => K M I = K I (M I) => M = I;
(iii) x y # x x, иначе x, y: x y = x, y: x x => (x, y: x y) I M = (x, y: x x) I M => M = I.

2.4.3. Построим замкнутые термы M0, M1..., такие, что Mi # Mj для всех i != j:
Mi = x0, x1,..., xi: xi;
Mi = Mj, i > j => Mi y1 ... yj = Mj y1 ... yj => Mk = I, k = i - j;
Mk = I => Mk I ...(k-1)... I = I I ...(k-1)... I => x: I = I => (x: I) M = I M => I = M.

2.4.4. Покажем, что аппликация не ассоциативна, точнее x (y z) # (x y) z:
x (y z) = (x y) z => x, y, z: x (y z) = x, y, z: (x y) z => K (I M) I = (K I) M I => M = I.

2.4.5 (К. Е. Шаап). Пусть X = S I. Покажем, что X X X X = X (X (X X)), и вообще для всех n имеет место X^n X = X X~n:
n = 1: X X = X X;
n = 2: X X X = S I X X = I X (X X) = X (X X).
n > 2: X^n X = X X~n =>
X X~n+1 = X X~n X = (X^n X) X = X (X^n-1 X) X =
= S I (X^n-1 X) X = X ((X^n-1 X) X) = X (X X~n-1 X) =
= X (X X~n) = X (X^n X) = X^n+1 X.

2.4.6. Покажем, что не существует такого F, чтобы для любых M и N выполнялось бы F (M N) = M:
I I = (x: I) I => F (I I) = F ((x: I) I) => I = x: I => I M = (x: I) M => M = I.

2.4.7. Покажем, что существует такой M, что для любого N выполняется M N = M M, применив теорему о неподвижной точке:
M x = M M => M = x: M M => M = (f, x: f f) M;
M = W W, W = w: (f, x: f f) (w w);
M N = (f, x: f f) M N = (x: M M) N = M M.

2.4.8. Бла-бла-бла про одновременную подстановку.
В пизду эту болтологическую муть.

2.4.9. Покажем, что (x, y: M) N = y: (x: M) N:
(x, y: M) N = (y: M)[x := N] = y: M[x := N] = y: (x: M) N.

2.4.10. Используем теорему о неподвижной точке, чтобы построить терм M, такой, что
(i) M = M S:
M = (f: f S) M, M = W W, W = w: (f: f S) (w w);
M = (f: f S) M = M S;
(ii) M I S S = M S:
M = (f, s: f I s s) M, M = W W, W = w: (f, s: f I s s) (w w);
M S = (f, s: f I s s) M S = M I S S.

2.4.11. Построим F, такой, что F I = x и F K = y, вспомнив упражнение 2.4.2 (i):
если F = f: f I M N, тогда
F K = K I M N = N => N = y;
F I = I I M N = M N => M = z: x;
cтало быть, F = f: f I (z: x) y.

2.4.12 (Якопини). Пусть w3 = x: x x x и W3 = w3 w3. Покажем, что
(i) I # w3, иначе I (x, y: I) = w3 (x, y: I) => x, y: I = I => (x, y: I) I M = I I M => I = M;
(ii) I # W3, иначе I = W3 => I w3 = W3 w3 => w3 = W3 w3, а если заметить
W3 = w3 w3 w3 = W3 w3, то W3 = I => I = I w3, что возвращает нас к пункту (i).

2.4.13. Покажем, что для любой абстракции M имеет место равенство x: M x = M:
M = y: N;
x: M x = x: (y: N) x = x: N[y := x] = y: N = M.

2.4.14. Пусть M = x: x (y: y y) (y: y y). Покажем, что M I-разрешим:
M (x, y: x I (y I)) = I I (I I) = I.

2.4.15 (почему-то есть только в оригинале, Минц не перевел). Suppose a symbol of the lambda calculus alphabet is always 0.5 cm wide. Let us write down a lambda term with length less than 20 cm having a normal form with length at least 10^(10^10) lightyear. The speed of light is c = 3 * 10^10 cm/sec.
The length of a Church numeral in cm is about the natural number it represents, so it is more than enough to write a term that reduces to the Church numeral for the number 2^(2^(2^(2^(2^2)))). The exponential function for Church numerals is just application, so the term can be (x: x x x x x x) (f, x: f (f x)) which is, in turn, much shorter than requested.

comments

Проект P2Pinet

2014-02-08T10:00:34Z

В связи с идеей распределенных сетей взаимодействия, хотелось бы вернуться к проекту компилятора inet, который используется в MLC для механизма read-back. Приложение было реализовано уже после подготовки формального описания проекта и строго следуя проектной документации; имели место лишь мелкие уточнения и исправления по ходу работы.

Как модифицировать компилятор inet, чтобы получить вместо него распределенную универсальную P2P-сеть взаимодействия? Обозначим гипотетическую распределенную версию inet как p2pinet.

P2P-сеть всегда основана на дублировании информации для случаев, когда одна из нод отключается от сети. Заметим, что стэк активных пар, используемый в проекте inet, - это исчерпывающая информация о редуцируемой сети взаимодействия. Чаще всего (псевдо-)активная пара состоит не из двух агентов, а из агента и (псевдо-)агента wire, который служит для разыменования. Последнее в случае P2P-сети служило бы простым запросом на дублирование информации.

В p2pinet активные пары технически нигде не хранятся в явном виде, и ноды могут даже не знать, активна ли данная конкретная связь между одним идентификатором (портом) и каким-то другим в сети. Обмен информацией и (неявное) создание новых активных пар произходило бы в такой сети с помощью операции разыменования, а собственно применение правил взаимодействия - локально на нодах ввиду нескольких причин.

Во-первых, правила могут быть приватными для группы нод. Во-вторых, правила могут иметь побочные действия, как в проекте inet. В-третьих, набор правил может быть бесконечным и очень сложным. Наконец, одно из правил может быть вычислительно затратно, например вычисление n-ного простого числа.

Следует подчеркнуть, что сами по себе сети взаимодействия неэффективны с вычислительной точки зрения - существующие процессоры справляются с вычислительными задачами несравнимо лучше. Но оптимальная редукция, вопреки названию, вообще не рассматривает вопрос о том, как проводить собственно редукцию и не предлагает никаких решений на этот счет. Вместо этого, она предлагает стратегию для объединения работы (optimal sharing). Последнее и можно было бы позаимствовать от систем взаимодействия для оптимального разделения работы и данных между частями распределенной вычислительной системы.

Конкретно эту задачу сети взаимодействия и решают на качественном уровне. Они служат своеобразным планировщиком задач, который уже, в свою очередь, управляет остальными процессорами как устройствами, чем-то похожим на OpenCL образом. Однако, в отличие от OpenCL (который тоже, в принципе, может быть использован в распределенной сети), сети взаимодействия позволили бы делать и само планирование децентрализованным, при этом избегая лишних обмена данных и дублирования работы.

Следующая схема иллюстрирует, как может быть представлена активная пара в распределенной децентрализованной сети взаимодействия (уникальные адреса и множество соединений вместо единого стека активных пар в случае компилятора inet):

[{нода x} (доп. порты) = α₁ - (гл. порт)] | {сеть} | [(гл. порт) - α₂ = (доп. порты) {нода y}], где

x может совпадать с y;
агенты α_i могут (и должны) быть продублированы (некоторыми) другими нодами;
все главные порты, которые не соединены с доп. портами должны быть доступны в сети с уникальным идентификатором;
связь между двумя дополнительными портами может быть представлена с помощью псевдо-агента wire из проекта inet;
деревья с корнем в α_i могут храниться локально вне сети пока сеть не редуцирует соответствующую активную пару.

В качестве базовой технологии можно было использовать приближающийся стандарт WebRTC, который уже, впрочем, работает в большинстве браузеров. Он был задумал для прямого видео/аудио-общения между пользователями без нагрузки на серверы, но также позволяет обмениваться произвольными данными между браузерами.

По астрономо-арифметическим соображениям, одного килобита на адрес хватает навсегда, а два килобита на уникальный идентификатор дают абсолютную гарантию отсутствия коллизий.

Такие длины идентификаторов напоминают характерные длины ключей RSA. Кстати, последний имеет гомоморфизм относительно умножения, а потому мог бы быть использован для приватных вычислений на основе той же самой распределенной вычислительной сети.

В принципе, сеть вообще могла бы функционировать редко или вовсе не взаимодействующими (под)сетями, идентификаторы агентов которых зашифрованы, к примеру, группами пользователей.

Формально на роль системы взаимодействия, на основе которой бы могла работать сеть, годятся, по крайней мере, следующие три варианта:

а) комбинаторы взаимодействия;
б) компактное представление λ-выражений;
в) универсум.

Последний предпочтительнее не только из-за неэффективности комбинаторов и функциональной чистоты λ-исчисления, но и из-за разных потребностей групп пользователей, а также возможности применить изоморфизм RSA-арифметику, используя, например, некоторые идентификаторы в качестве данных, что, в общем-то, логично, если учесть их сверх-избыточную длину.

Понятно, что система взаимодействия может иметь бесконечные сигнатуру (множество типов агентов) и множество правил взаимодействия. С помощью простого дизъюнктного объединения всех возможных систем взаимодействия мы можем получить единую универсальную систему взаимодействия, чья сигнатура содержит все возможные типы агентов, а множество правил - все возможные взаимодействия.

В обычной теории множеств это парадоксальная конструкция. Если ограничить множество систем взаимодействия только до тех, которые можно формализовать, то их становится счетное множество. А приняв во внимание астроно-арифметические соображения, то их вообще конечное множество с человеко-размерной длиной идентификаторов (килобит, в принципе, можно передать одним SMS).

Остается неясным как именно должно происходить применение правил взаимодействия и редукция сети. В частности, непонятно, можно ли, а если можно - то как именно производить проверку работу сети. Связанный вопрос возникает по поводу дублирования работы отстающими нодами: как держать их число на оптимальном уровне. Похоже, что требуется какой-то компромисс между числом дублирующих нод для надежности сети и неоптимальностью суммарной работы.

comments

Цветопередача с ошибками

2013-06-29T08:31:24Z

Кто может скорректировать шестнадцатеричное число?

A 0 0 B

Задействуйте свои проверочные колбочки!

comments

Prime Number Natural Selection

2013-06-22T06:33:25Z

http://www.cims.nyu.edu/~eve2/predprey.pdf

Prime number selection of cycles in a predator-prey model
Eric Goles, Oliver Schulz, Mario Markus

The fact that some species of cicadas appear every 7, 13, or 17 years and that these periods are prime numbers has been regarded as a coincidence. We found a simple evolutionary predator-prey model that yields prime-periodic preys having cycles predominantly around the observed values. An evolutionary game on a spatial array leads to travelling waves reminiscent of those observed in excitable systems. The model marks an encounter of two seemingly unrelated disciplines: biology and number theory. A restriction to the latter, provides an evolutionary generator of arbitrarily large prime numbers.

Via udod's post and Wikipedia.

comments

Мой второй кот на Verilog

2013-06-13T10:23:39Z

module brain (clk, sensor, effect);
	parameter nbit = 12;
	parameter size = 2 ** nbit;
 
	input clk;
	input [7:0] sensor;
	output [7:0] effect;
 
	reg sig [0:size - 1];
	reg trace [0:size - 1];
	reg [nbit - 1:0] ram [0:size - 1];
 
	assign effect[3:0] = {sig[3], sig[2], sig[1], sig[0]};
	assign effect[7:4] = {sig[7], sig[6], sig[5], sig[4]};
 
	integer i;
 
	initial for (i = 0; i < size; i = i + 1) begin
		trace[i] = 0;
		sig[i] = 0;
		ram[i] = i;
	end
 
	always @(posedge clk) begin
		for (i = 0; i < 8; i = i + 1)
			sig[ram[i]] <= sensor[i];
 
		for (i = 0; i < size; i = i + 1) begin
			case ({trace[i], sig[ram[i]]})
			2'b00: ram[i] <= ram[i] + 1;
			2'b01: sig[i] <= 1;
			2'b10: sig[i] <= 0;
			2'b11: ram[i] <= ram[i] - 1;
			endcase
 
			trace[i] <= sig[ram[i]];
		end
	end
endmodule
 
`ifdef SIM
module sim;
	reg clk = 0;
	reg [7:0] key;
	wire [7:0] led;
 
	brain core(clk, key, led);
 
	integer c;
 
	always begin
		c = $fgetc(32'h8000_0000);
		if (-1 == c)
			$finish;
 
		key = c[7:0];
		#1 clk = ~clk;
		#1 clk = ~clk;
		$displayb(led);
	end
endmodule
`endif

comments

Мой первый кот на Verilog

2013-06-10T15:41:10Z

`define OPZ 4'b1111
`define OPA 4'b0001
`define OPL 4'b0010
`define OPN 4'b0100
`define OPS 4'b1000

`define BIT 15
`define SIZE (2 ** `BIT)

module ram0 (clk, op, led);
	input clk;
	input [3:0] op;
	output [7:0] led;

	reg [`BIT - 1:0] ram [0:`SIZE - 1];
	reg [`BIT - 1:0] n, z;

	assign led = z[7:0];

	always @(posedge clk) begin
		case (op)
		`OPZ: z = 0;
		`OPA: z = z + 1;
		`OPL: z = ram[z];
		`OPN: n = z;
		`OPS: ram[n] = z;
		endcase
	end
endmodule

`ifdef SIM
module sim;
	reg clk = 0;
	reg [3:0] op;
	wire [7:0] led;

	ram0 core(clk, op, led);

	integer ch;

	always begin
		ch = $fgetc(32'h8000_0000);
		case (ch)
		"z", "Z": op = `OPZ;
		"a", "A": op = `OPA;
		"l", "L": op = `OPL;
		"n", "N": op = `OPN;
		"s", "S": op = `OPS;
		-1: $finish;
		default: op = 0;
		endcase

		if (op) begin
			#1 clk = ~clk;
			#1 clk = ~clk;
			$displayb(led);
		end
	end
endmodule
`endif

comments

Tor-подобная килобитная RAM0

2013-05-29T13:05:08Z

Килобит можно передать одним сообщением по SMS.

При этом его достаточно, чтобы адресовать любую точку пространства-времени с точностью до планковских единиц измерения на протяжении 10²⁷ лет, что в 10¹⁷ раз больше, чем уже прошло после момента Большого взрыва. Для сравнения, полкилобита адресуют около ста микросекунд. Для данной оценки использовался гиперобъем гиперконуса, который примерно равен гиперобъему гиперкуба со стороной, равной высоте этого гиперконуса.

Таким образом, килобитных адресов хватает на любую мыслимую на сегодняшний день научную фантастику: с невероятным запасом покрываются нужды однозначной адресации для реализованных и доведенных до совершенства квантового компьютера, телепортации, машины времени и кротовых нор вместе взятых.

Теперь предположим, что у нас есть хэш-функция F, похожая на SHA-2, но с размером хэша и размером блока ровно в один килобит (вместо обычных 256 бит и 512-битных блоков), и способ адресации, подобный .onion-доменам для анонимных сервисов в сети Tor, причем каждый сервис хранит ровно одну килобитную ячейку памяти.

Интересно было бы рассмотреть распределенную RAM0-подобную вычислительную сеть с семантикой команд, измененной следующим образом (предполагается отсутствие коллизиций на килобитных блоках):

#define A	z = F(z)
#define L	z = recvkbit(z)
#define N	n = z
#define S	sendkbit(n, z)

comments

Компиляция из MLC в RAM0

2013-05-15T13:29:27Z

Программы на языке MLC (Macro Lambda Calculus) - пример доступен на GitHub - имеют следующий вид:

N1 = M1;
...
Nm = Mm;

M0.

Выражение M0 может содержать произвольное число вхождений имен макросов N1, ... , Nm, а также свободных переменных - обозначим их x1, ... , xn. Комбинатор M, нормальную форму которого мы фактически ищем, получается из программы следующим образом:

M = x1, ... , xn: (N1, ... , Nm: M0) M1 ... Mm.

Комбинатор M, в свою очередь, представим в исчислении взаимодействия, воспользовавшись направленной версией компактной кодировки λ-выражений. Заметим, что конфигурация <x | Γ(M, x)>, как можно видеть из определения, содержит только редексы по левому разыменованию. Следовательно, чтобы инициализировать нашу систему слепой перезаписи графов, достаточно все уравнения конфигурации положить в стек, соответствующий левому разыменованию.

Полученную в результате структуру памяти можно восстановить некоторой последовательностью I инструкций Z, A, L, N и S машины RAM0. Основной цикл работы нашей системы слепой перезаписи графов, реализующей редукцию сетей взаимодействия, также может быть представлен некоторой последовательностью R инструкций Z, A, L, N и S, которая не зависит от вычисляемого выражения. Таким образом, исходный код на языке MLC может быть скомпилирован в следующую программу RAM0:

I;
loop: R;
goto loop;

Данная программа не содержит инструкцию C для условного перехода. Такие детали, как стратегия вычисления, остановка машины, обработка дна стеков и механизм "read-back" во время стягивания конфигурации, были здесь намеренно опущены, чтобы не нагромождать и без того уже объемное изложение.

comments

RAM0

2013-05-14T11:04:06Z

Модель RAM0 (Schönhage's zero-parameter successor RAM model) - это компьютер с двумя регистрами (z и n) и шестью командами (Z, A, L, N, S и C), который эквивалентен SMM (Schönhage's storage modification machine model).

Как следует из названия, команды RAM0, за исключением, пожалуй, условного перехода, не имеют параметров. Одна из ее особенностей - алгоритм умножения n-битных чисел за линейное время O(n). Этот, на первый взгляд, парадоксальный результат говорит о том, что механизм RAM сам по себе обладает определенной вычислительной мощностью.

На языке Си команды RAM0 выглядят следующим образом:

#ifndef _RAM0_H
#define _RAM0_H

#include <stdlib.h>

extern void **n, **z;

#define Z	z = NULL
#define A	++z
#define L	z = *z
#define N	n = z
#define S	*n = z

#define C(label) \
	do { \
		if (z) \
			goto label; \
	} while (0)

#endif

Ниже пример программы:

#include "ram0.h"

void **n, **z;

main()
{
	loop: Z; A; L; N; S; C(loop);

	return !z;
}

Интересно, что система сохраняет Тьюринг-полноту, даже если заменить условный переход безусловным. Эта задача рассматривается в статьях "Blind graph rewriting systems" и "A compact encoding for λ-terms in interaction calculus".

comments

Schönhage’s SMM with only one instruction

2013-05-07T03:37:54Z

http://mathoverflow.net/questions/129923

It is possible to implement λ-calculus in Schönhage's storage modification machine using an infinite set of nodes and one single program consisted exclusively of (about hundred) instructions set w to v (with different w and v) using a compact directed encoding for λ-terms closely related to directed interaction combinators by Lafont, and four infinite spaghetti stacks based on linked nodes to perform interaction and indirection rules on configurations.

Is it possible to preserve Turing-completeness of the SMM model while restricting its instruction set to only a single instruction set w to v (with constant w and v) during the whole computation process?

I would be very grateful for any references regarding this question.

comments

Schönhage's Storage Modification Machine

2013-05-06T15:31:57Z

In theoretical computer science a pointer machine is an "atomistic" abstract computational machine model akin to the Random access machine.

Depending on the type, a pointer machine may be called a linking automaton, a KU-machine, an SMM, an atomistic LISP machine, a tree-pointer machine, etc. (cf Ben-Amram 1995). At least three major varieties exist in the literature—the Kolmogorov-Uspenskii model (KUM, KU-machine), the Knuth linking automaton, and the Schönhage Storage Modification Machine model (SMM). The SMM seems to be the most common.

This should definitely help to answer two questions on MathOverflow, regarding Turing-complete primitive blind automata and Universality of blind graph rewriting.

comments