Счетность в конструктивизме
Oct. 27th, 2010 02:35 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
codedotИсходные объекты для построения теорий всегда выбраны из счетного множества: например, из имен; имена счетны ввиду счетности языка как множества текстов. Далее, при попытке ввести множество всех подмножеств такого или некоторого производного счетного множества возникает проблема континуума. Однако, конструктивно доказать, что континуальные множества вообще существуют, не представляется возможным.
Проблема с континуальными множествами довольно остро проявилась в прошлом веке при развитии теории вычислимости, где требовалась математическая модель для счетных множеств, которые бы состояли из отображений внутри него. Разрешилась она тогда, когда Скотт предложил топологию дерева и урезал отображения до непрерывных. С другой стороны, привести конструктивный пример функции, которая вне такого множества, невозможно, так как язык описывает в точности частично-рекурсивные функции.
Возникает логичный вопрос о том, как же быть с вещественными числами, и до какого множества следует их урезать, чтобы описать именно те, которые можно определить конструктивно. Такие числа есть в конструктивном вещественном анализе, и называются рекурсивными вещественными числами [вольный перевод с англ.].
В принципе, на каждом этапе, где требуются новые конструкции, в традиционной математике из-за неконструктивных определений обычно ведущие к несчетным множествам, можно каждый раз вводить надлежащую топологию и урезать отображения до непрерывных. Утверждается, что это возможно для любых мыслимых конструкций, что таким образом освобождает от интуитивно присутствующей опасности ограниченности конструктивного подхода.
Наконец, учитывая, что система λβη соответствует максимальным непротиворечивым теориям и при этом в виду тезиза Черча–Тьюринга имеет максимальную выразительность, любые мыслимые конструкции оказываются возможными для определения внутри нее. И это может, в свою очередь, служить дополнительным аргументом в сторону ее использования и большей концентрации внимания на эквивалентных системах и на теории вычислимости вообще.
Проблема с континуальными множествами довольно остро проявилась в прошлом веке при развитии теории вычислимости, где требовалась математическая модель для счетных множеств, которые бы состояли из отображений внутри него. Разрешилась она тогда, когда Скотт предложил топологию дерева и урезал отображения до непрерывных. С другой стороны, привести конструктивный пример функции, которая вне такого множества, невозможно, так как язык описывает в точности частично-рекурсивные функции.
Возникает логичный вопрос о том, как же быть с вещественными числами, и до какого множества следует их урезать, чтобы описать именно те, которые можно определить конструктивно. Такие числа есть в конструктивном вещественном анализе, и называются рекурсивными вещественными числами [вольный перевод с англ.].
В принципе, на каждом этапе, где требуются новые конструкции, в традиционной математике из-за неконструктивных определений обычно ведущие к несчетным множествам, можно каждый раз вводить надлежащую топологию и урезать отображения до непрерывных. Утверждается, что это возможно для любых мыслимых конструкций, что таким образом освобождает от интуитивно присутствующей опасности ограниченности конструктивного подхода.
Наконец, учитывая, что система λβη соответствует максимальным непротиворечивым теориям и при этом в виду тезиза Черча–Тьюринга имеет максимальную выразительность, любые мыслимые конструкции оказываются возможными для определения внутри нее. И это может, в свою очередь, служить дополнительным аргументом в сторону ее использования и большей концентрации внимания на эквивалентных системах и на теории вычислимости вообще.
